Cuaderno de cuántica - clase 2003-03-18

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Postulados de la mecánica cuántica

Estado físico: |\psi\rangle descrito por Ket.

fase relativa: sin significado físico fase global: no sirve

Asociado a cada Ket hay un Bra

|\psi\rangle \longrightarrow \langle\psi|
Ket Bra
Vive en el espacio dual \varepsilon Vive en el espacio dual \varepsilon^*

Los Bra son funcionales que actúan sobre los Kets:

(\langle\varphi|)|\psi\rangle \equiv \langle\varphi|\psi\rangle = # complejo

al sánguche: \langle\varphi|\psi\rangle = producto interno.

  • El producto interno es lineal:

Si |\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle, \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}
\Rightarrow\langle\varphi|\psi\rangle = \lambda_1\langle\varphi|\varphi_1\rangle + \lambda_2\langle\varphi|\varphi_2\rangle

  • Para pasar de Ket a Bra

|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle, \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}
\Rightarrow \langle\psi| = \lambda_1 \langle\varphi_1| + \lambda_2 \langle\varphi_2|

Operadores Lineales

Un operador \mathrm{A} ó \hat\mathrm{A}

en general lleva un Ket a otro Ket: \mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle

y además

\mathrm{A}(\lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle) = \lambda_1 \mathrm{A}|\varphi_1\rangle + \lambda_2 \mathrm{A}|\varphi_2\rangle

en general no conmutan \mathrm{A} y \mathrm{B} operadores
\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{B} - \mathrm{B}\mathrm{A} = \mathrm{C}
\Rightarrow [\mathrm{A},\mathrm{B}] = \mathrm{C} conmutador

Operadores Lineales sobre los Bra

Digamos que existe un Ket |\psi\rangle y tenemos el bra \langle\varphi|

\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle

Si hacemos el producto interno: \langle\varphi|\psi'\rangle = \langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = c

\langle\varphi|\mathrm{A}|\psi\rangle = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle = c

Al aplicar un operador sobre un Bra

\langle\varphi| \mathrm{A} = \langle\varphi'|

\Rightarrow es lo mismo

\langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle

Paso de Kets a Bras

\mathrm{A}|\psi\rangle \longrightarrow \langle\psi|\mathrm{A}^+

\mathrm{A}^+ es el operador adjunto de \mathrm{A}.

Propiedades

  1. (\mathrm{A}^+)^+ = \mathrm{A}
  2. (\mathrm{A}+\mathrm{B})^+ = \mathrm{A}^+ + \mathrm{B}^+
  3. (\lambda\mathrm{A})^+ = \lambda^*\mathrm{A}^+
  4. (\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+

Demostración de 4.

|\varphi\rangle = \mathrm{A} \mathrm{B} |\psi\rangle \longrightarrow \langle\varphi| = (\mathrm{A} \mathrm{B})^+ \langle\psi|

\Rightarrow |\varphi\rangle = \mathrm{A} |\psi'\rangle   |\psi'\rangle = \mathrm{B} |\psi\rangle (*)

\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi'| \mathrm{A}^+

y además de (*) \langle\psi'| = \langle\psi| \mathrm{B}^+

\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi| \mathrm{B}^+ \mathrm{A}^+

por lo tanto  (\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+

Operador hermítico

\mathrm{A} es hermítico si \mathrm{A}^+ = \mathrm{A}

Autovalores y autovectores

Si tenemos op \mathrm{A} tal que

\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle   \lambda_n \in \mathbb{C}

\Rightarrow se dice que |\psi_n\rangle es una autofunción de \mathrm{A} con autovalor \lambda_n

Nota

Si \mathrm{A} es un operador hermítico \Rightarrow sus autovalores son reales.

Demostración:

\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle

\langle\psi_n| \mathrm{A}^+  = \lambda_n^* \langle\psi_n|

\Rightarrow

\langle\psi_n| \mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n \langle\psi_n|\psi_n\rangle

\langle\psi_n| \mathrm{A}^+ |\psi_n\rangle = \lambda_n^* \langle\psi_n|\psi_n\rangle

como \mathrm{A}^+ = \mathrm{A} \Rightarrow \lambda_n = \lambda_n^* \Rightarrow \lambda_n \in \Re

Observables

Un observable es una propiedad de un sistema que en un principio se puede medir. En mecánica cuántica se le asocia un operador hermítico.

i.e. \hat{\mathrm{X}}, \hat{\mathrm{P}}, \hat{\mathrm{H}}

\hat{\mathrm{H}} |\psi_n\rangle = \mathrm{E}_n |\psi_n\rangle

donde |\psi_n\rangle es una autofunción de \hat{\mathrm{H}}

\hat{\mathrm{X}}|x\rangle = x |x\rangle

Colapso de la función de onda

Cuando un sistema es medido, la función de onda del sistema colapsa a una de las autofunciones del obervable, dando como resultado de la medición el autovalor correspondiente.