Cuaderno de cuántica - clase 2003-03-20

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Supongamos que tenemos un operador \mathrm{A} con autofunciones y autovectores |a_n\rangle, a_n

Tal que \mathrm{A}|a_n\rangle = a_n|a_n\rangle

Si las funciones forman una base completa y autonormal:

\langle a_n|a_{n'}\rangle = \delta_{n n'}

Nota: El operador proyección \hat{\mathrm{P}}_n =|a_n\rangle\langle a_n| Proyecta la función de onda sobre el ket |a_n\rangle:

\hat{\mathrm{P}}_n |a_{n'}\rangle = |a_n\rangle\langle a_n|a_{n'}\rangle = \delta_{n n'} |a_n\rangle

Fin nota.

\Rightarrow Dado el sistema

|\psi\rangle = \sum_n c_n |a_n\rangle

|\psi\rangle siempre se puede expandir en una base completa.

Si medimos \mathrm{A} y obtenemos como resultado a_m

\Rightarrow |\psi\rangle \longrightarrow |a_m\rangle (colapsa)

con probabilidad:

P(a_m)=\langle\psi|\hat{\mathrm{P}}_m|\psi\rangle

=(\sum_n c_n^* \langle a_n|)(|a_m\rangle\langle a_m|)(\sum_k c_k |a_k\rangle)

=\sum_{n,k} c_n^* c_k \langle a_n|a_m\rangle\langle a_m|a_k\rangle

= c_m^* c_m = |c_m|^2