Cuaderno de cuántica - clase 2003-03-20

Supongamos que tenemos un operador $\mathrm{A}$ con autofunciones y autovectores $|a_n\rangle$, $a_n$

Tal que $\mathrm{A}|a_n\rangle = a_n|a_n\rangle$

Si las funciones forman una base completa y autonormal:

$\langle a_n|a_{n'}\rangle = \delta_{n n'}$

Nota: El operador proyección $\hat{\mathrm{P}}_n =|a_n\rangle\langle a_n|$ Proyecta la función de onda sobre el ket $|a_n\rangle$:

$\hat{\mathrm{P}}_n |a_{n'}\rangle = |a_n\rangle\langle a_n|a_{n'}\rangle = \delta_{n n'} |a_n\rangle$

Fin nota.

$\Rightarrow$ Dado el sistema

$|\psi\rangle = \sum_n c_n |a_n\rangle$

$|\psi\rangle$ siempre se puede expandir en una base completa.

Si medimos $\mathrm{A}$ y obtenemos como resultado $a_m$

$\Rightarrow$ $|\psi\rangle \longrightarrow |a_m\rangle$ (colapsa)

con probabilidad:

$P(a_m)=\langle\psi|\hat{\mathrm{P}}_m|\psi\rangle$

$=(\sum_n c_n^* \langle a_n|)(|a_m\rangle\langle a_m|)(\sum_k c_k |a_k\rangle)$

$=\sum_{n,k} c_n^* c_k \langle a_n|a_m\rangle\langle a_m|a_k\rangle$

$= c_m^* c_m = |c_m|^2$