Diferencia entre revisiones de «Cuaderno de cuántica - clase 2003-03-18»
(Página nueva: = Postulados de la mecánica cuántica = Estado físico: <math>|\psi\rangle</math> descrito por Ket. fase relativa: sin significado físico fase global: no sirve Asociado a cada Ke...) |
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* El producto interno es lineal: | * El producto interno es lineal: | ||
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− | <math>|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle</math>, <math>\lambda_1, \lambda_2 \in \ | + | <math>|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle</math>, <math>\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}</math><br> |
<math>\Rightarrow\langle\varphi|\psi\rangle = \lambda_1\langle\varphi|\varphi_1\rangle + \lambda_2\langle\varphi|\varphi_2\rangle </math> | <math>\Rightarrow\langle\varphi|\psi\rangle = \lambda_1\langle\varphi|\varphi_1\rangle + \lambda_2\langle\varphi|\varphi_2\rangle </math> | ||
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+ | * Para pasar de Ket a Bra | ||
+ | <math>|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle</math>, <math>\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}</math><br> | ||
+ | <math>\Rightarrow \langle\psi| = \lambda_1 \langle\varphi_1| + \lambda_2 \langle\varphi_2|</math> | ||
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+ | == Operadores Lineales == | ||
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+ | Un operador <math>\mathrm{A}</math> ó <math>\hat\mathrm{A}</math> | ||
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+ | en general lleva un Ket a otro Ket: | ||
+ | <math>\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle</math> | ||
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+ | y además | ||
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+ | <math>\mathrm{A}(\lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle) = \lambda_1 \mathrm{A}|\varphi_1\rangle + \lambda_2 \mathrm{A}|\varphi_2\rangle</math> | ||
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+ | en general no conmutan | ||
+ | <math>\mathrm{A}</math> y <math>\mathrm{B}</math> operadores<br> | ||
+ | <math>\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{B} - \mathrm{B}\mathrm{A} = \mathrm{C}</math><br> | ||
+ | <math>\Rightarrow [\mathrm{A},\mathrm{B}] = \mathrm{C} </math> conmutador | ||
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+ | === Operadores Lineales sobre los Bra === | ||
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+ | Digamos que existe un Ket <math>|\psi\rangle</math> y tenemos el bra <math>\langle\varphi|</math> | ||
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+ | <math>\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle</math> | ||
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+ | Si hacemos el producto interno: | ||
+ | <math>\langle\varphi|\psi'\rangle = \langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = c</math> | ||
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+ | <math>\langle\varphi|\mathrm{A}|\psi\rangle = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle = c</math> | ||
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+ | Al aplicar un operador sobre un Bra | ||
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+ | <math>\langle\varphi| \mathrm{A} = \langle\varphi'|</math> | ||
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+ | <math>\Rightarrow</math> es lo mismo | ||
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+ | <math>\langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle</math> | ||
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+ | Paso de Kets a Bras | ||
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+ | <math>\mathrm{A}|\psi\rangle \longrightarrow \langle\psi|\mathrm{A}^+</math> | ||
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+ | <math>\mathrm{A}^+</math> es el operador adjunto de <math>\mathrm{A}</math>. | ||
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+ | === Propiedades === | ||
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+ | # <math>(\mathrm{A}^+)^+ = \mathrm{A}</math> | ||
+ | # <math>(\mathrm{A}+\mathrm{B})^+ = \mathrm{A}^+ + \mathrm{B}^+ </math> | ||
+ | # <math>(\lambda\mathrm{A})^+ = \lambda^*\mathrm{A}^+</math> | ||
+ | # <math>(\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+</math> | ||
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+ | Demostración de 4. | ||
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+ | <math>|\varphi\rangle = \mathrm{A} \mathrm{B} |\psi\rangle \longrightarrow \langle\varphi| = (\mathrm{A} \mathrm{B})^+ \langle\psi| </math> | ||
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+ | <math>\Rightarrow |\varphi\rangle = \mathrm{A} |\psi'\rangle</math> <math>|\psi'\rangle = \mathrm{B} |\psi\rangle</math> (*) | ||
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+ | <math>\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi'| \mathrm{A}^+ </math> | ||
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+ | y además de (*) <math>\langle\psi'| = \langle\psi| \mathrm{B}^+ </math> | ||
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+ | <math>\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi| \mathrm{B}^+ \mathrm{A}^+ </math> | ||
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+ | por lo tanto <math> (\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+</math> | ||
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+ | === Operador hermítico === | ||
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+ | <math>\mathrm{A}</math> es hermítico si <math>\mathrm{A}^+ = \mathrm{A}</math> | ||
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+ | === Autovalores y autovectores === | ||
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+ | Si tenemos op <math>\mathrm{A}</math> tal que | ||
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+ | <math>\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle</math> <math> \lambda_n \in \mathbb{C}</math> | ||
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+ | <math>\Rightarrow</math> se dice que <math>|\psi_n\rangle</math> es una autofunción de <math>\mathrm{A}</math> con autovalor <math>\lambda_n</math> | ||
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+ | ==== Nota ==== | ||
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+ | Si <math>\mathrm{A}</math> es un operador hermítico | ||
+ | <math>\Rightarrow</math> sus autovalores son reales. | ||
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+ | Demostración: | ||
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+ | <math>\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle</math> | ||
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+ | <math>\langle\psi_n| \mathrm{A}^+ = \lambda_n^* \langle\psi_n|</math> | ||
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+ | <math>\Rightarrow</math> | ||
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+ | <math>\langle\psi_n| \mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n \langle\psi_n|\psi_n\rangle</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\langle\psi_n| \mathrm{A}^+ |\psi_n\rangle = \lambda_n^* \langle\psi_n|\psi_n\rangle</math> | ||
+ | |||
+ | como <math>\mathrm{A}^+ = \mathrm{A} \Rightarrow \lambda_n = \lambda_n^* \Rightarrow \lambda_n \in \Re </math> | ||
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+ | == Observables == | ||
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+ | Un observable es una propiedad de un sistema que en un principio se puede medir. En mecánica cuántica se le asocia un operador hermítico. | ||
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+ | i.e. <math>\hat{\mathrm{X}}</math>, <math>\hat{\mathrm{P}}</math>, <math>\hat{\mathrm{H}}</math> | ||
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+ | <math>\hat{\mathrm{H}} |\psi_n\rangle = \mathrm{E}_n |\psi_n\rangle</math> | ||
+ | |||
+ | donde <math>|\psi_n\rangle</math> es una autofunción de <math>\hat{\mathrm{H}}</math> | ||
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+ | <math>\hat{\mathrm{X}}|x\rangle = x |x\rangle</math> | ||
+ | |||
+ | === Colapso de la función de onda === | ||
+ | |||
+ | Cuando un sistema es medido, la función de onda del sistema colapsa a una de las autofunciones del obervable, dando como resultado de la medición el autovalor correspondiente. | ||
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Revisión actual del 21:11 31 ene 2009
Contenido
Postulados de la mecánica cuántica
Estado físico: descrito por Ket.
fase relativa: sin significado físico fase global: no sirve
Asociado a cada Ket hay un Bra
Ket | Bra | |
Vive en el espacio dual | Vive en el espacio dual |
Los Bra son funcionales que actúan sobre los Kets:
# complejo
al sánguche: producto interno.
- El producto interno es lineal:
Si
,
- Para pasar de Ket a Bra
,
Operadores Lineales
Un operador ó
en general lleva un Ket a otro Ket:
y además
en general no conmutan
y operadores
conmutador
Operadores Lineales sobre los Bra
Digamos que existe un Ket y tenemos el bra
Si hacemos el producto interno:
Al aplicar un operador sobre un Bra
es lo mismo
Paso de Kets a Bras
es el operador adjunto de .
Propiedades
Demostración de 4.
(*)
y además de (*)
por lo tanto
Operador hermítico
es hermítico si
Autovalores y autovectores
Si tenemos op tal que
se dice que es una autofunción de con autovalor
Nota
Si es un operador hermítico sus autovalores son reales.
Demostración:
como
Observables
Un observable es una propiedad de un sistema que en un principio se puede medir. En mecánica cuántica se le asocia un operador hermítico.
i.e. , ,
donde es una autofunción de
Colapso de la función de onda
Cuando un sistema es medido, la función de onda del sistema colapsa a una de las autofunciones del obervable, dando como resultado de la medición el autovalor correspondiente.