Cuaderno de cuántica - clase 2003-03-18

Postulados de la mecánica cuántica

Estado físico: $|\psi\rangle$ descrito por Ket.

fase relativa: sin significado físico fase global: no sirve

Asociado a cada Ket hay un Bra

$|\psi\rangle$	$\longrightarrow$	$\langle\psi|$
Ket		Bra
Vive en el espacio dual $\varepsilon$		Vive en el espacio dual $\varepsilon^*$

Los Bra son funcionales que actúan sobre los Kets:

$(\langle\varphi|)|\psi\rangle \equiv \langle\varphi|\psi\rangle =$# complejo

al sánguche: $\langle\varphi|\psi\rangle =$ producto interno.

• El producto interno es lineal:

Si $|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle$, $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$
$\Rightarrow\langle\varphi|\psi\rangle = \lambda_1\langle\varphi|\varphi_1\rangle + \lambda_2\langle\varphi|\varphi_2\rangle$

• Para pasar de Ket a Bra

$|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle$, $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$
$\Rightarrow \langle\psi| = \lambda_1 \langle\varphi_1| + \lambda_2 \langle\varphi_2|$

Operadores Lineales

Un operador $\mathrm{A}$ ó $\hat\mathrm{A}$

en general lleva un Ket a otro Ket: $\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle$

y además

$\mathrm{A}(\lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle) = \lambda_1 \mathrm{A}|\varphi_1\rangle + \lambda_2 \mathrm{A}|\varphi_2\rangle$

en general no conmutan $\mathrm{A}$ y $\mathrm{B}$ operadores
$\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{B} - \mathrm{B}\mathrm{A} = \mathrm{C}$
$\Rightarrow [\mathrm{A},\mathrm{B}] = \mathrm{C}$ conmutador

Operadores Lineales sobre los Bra

Digamos que existe un Ket $|\psi\rangle$ y tenemos el bra $\langle\varphi|$

$\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle$

Si hacemos el producto interno: $\langle\varphi|\psi'\rangle = \langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = c$

$\langle\varphi|\mathrm{A}|\psi\rangle = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle = c$

Al aplicar un operador sobre un Bra

$\langle\varphi| \mathrm{A} = \langle\varphi'|$

$\Rightarrow$ es lo mismo

$\langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle$

Paso de Kets a Bras

$\mathrm{A}|\psi\rangle \longrightarrow \langle\psi|\mathrm{A}^+$

$\mathrm{A}^+$ es el operador adjunto de $\mathrm{A}$.

Propiedades

1. $(\mathrm{A}^+)^+ = \mathrm{A}$
2. $(\mathrm{A}+\mathrm{B})^+ = \mathrm{A}^+ + \mathrm{B}^+$
3. $(\lambda\mathrm{A})^+ = \lambda^*\mathrm{A}^+$
4. $(\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+$

Demostración de 4.

$|\varphi\rangle = \mathrm{A} \mathrm{B} |\psi\rangle \longrightarrow \langle\varphi| = (\mathrm{A} \mathrm{B})^+ \langle\psi|$

$\Rightarrow |\varphi\rangle = \mathrm{A} |\psi'\rangle$   $|\psi'\rangle = \mathrm{B} |\psi\rangle$ (*)

$\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi'| \mathrm{A}^+$

y además de (*) $\langle\psi'| = \langle\psi| \mathrm{B}^+$

$\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi| \mathrm{B}^+ \mathrm{A}^+$

por lo tanto $(\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+$

Operador hermítico

$\mathrm{A}$ es hermítico si $\mathrm{A}^+ = \mathrm{A}$

Autovalores y autovectores

Si tenemos op $\mathrm{A}$ tal que

$\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle$  $\lambda_n \in \mathbb{C}$

$\Rightarrow$ se dice que $|\psi_n\rangle$ es una autofunción de $\mathrm{A}$ con autovalor $\lambda_n$

Nota

Si $\mathrm{A}$ es un operador hermítico $\Rightarrow$ sus autovalores son reales.

Demostración:

$\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle$

$\langle\psi_n| \mathrm{A}^+ = \lambda_n^* \langle\psi_n|$

$\Rightarrow$

$\langle\psi_n| \mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n \langle\psi_n|\psi_n\rangle$

$\langle\psi_n| \mathrm{A}^+ |\psi_n\rangle = \lambda_n^* \langle\psi_n|\psi_n\rangle$

como $\mathrm{A}^+ = \mathrm{A} \Rightarrow \lambda_n = \lambda_n^* \Rightarrow \lambda_n \in \Re$

Observables

Un observable es una propiedad de un sistema que en un principio se puede medir. En mecánica cuántica se le asocia un operador hermítico.

i.e. $\hat{\mathrm{X}}$, $\hat{\mathrm{P}}$, $\hat{\mathrm{H}}$

$\hat{\mathrm{H}} |\psi_n\rangle = \mathrm{E}_n |\psi_n\rangle$

donde $|\psi_n\rangle$ es una autofunción de $\hat{\mathrm{H}}$

$\hat{\mathrm{X}}|x\rangle = x |x\rangle$

Colapso de la función de onda

Cuando un sistema es medido, la función de onda del sistema colapsa a una de las autofunciones del obervable, dando como resultado de la medición el autovalor correspondiente.