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= Postulados de la mecánica cuántica =

Estado físico: <math>|\psi\rangle</math> descrito por Ket.

fase relativa: sin significado físico
fase global: no sirve

Asociado a cada Ket hay un Bra

{|
|<math>|\psi\rangle</math>
|<math>\longrightarrow</math>
|<math>\langle\psi|</math>
|-
|Ket
|
|Bra
|-
|Vive en el espacio dual <math>\varepsilon</math>
|
|Vive en el espacio dual <math>\varepsilon^*</math>
|}

Los Bra son funcionales que actúan sobre los Kets:

<math>(\langle\varphi|)|\psi\rangle \equiv \langle\varphi|\psi\rangle = </math># complejo

al sánguche: <math>\langle\varphi|\psi\rangle = </math> producto interno.

* El producto interno es lineal:
Si
<math>|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle</math>, <math>\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}</math><br>
<math>\Rightarrow\langle\varphi|\psi\rangle = \lambda_1\langle\varphi|\varphi_1\rangle + \lambda_2\langle\varphi|\varphi_2\rangle </math>

* Para pasar de Ket a Bra
<math>|\psi\rangle = \lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle</math>, <math>\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}</math><br>
<math>\Rightarrow \langle\psi| = \lambda_1 \langle\varphi_1| + \lambda_2 \langle\varphi_2|</math>

== Operadores Lineales ==

Un operador <math>\mathrm{A}</math> ó <math>\hat\mathrm{A}</math>

en general lleva un Ket a otro Ket:
<math>\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle</math>

y además

<math>\mathrm{A}(\lambda_1 |\varphi_1\rangle + \lambda_2 |\varphi_2\rangle) = \lambda_1 \mathrm{A}|\varphi_1\rangle + \lambda_2 \mathrm{A}|\varphi_2\rangle</math>

en general no conmutan
<math>\mathrm{A}</math> y <math>\mathrm{B}</math> operadores<br>
<math>\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{B} - \mathrm{B}\mathrm{A} = \mathrm{C}</math><br>
<math>\Rightarrow [\mathrm{A},\mathrm{B}] = \mathrm{C} </math> conmutador

=== Operadores Lineales sobre los Bra ===

Digamos que existe un Ket <math>|\psi\rangle</math> y tenemos el bra <math>\langle\varphi|</math>

<math>\mathrm{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle</math>

Si hacemos el producto interno:
<math>\langle\varphi|\psi'\rangle = \langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = c</math>

<math>\langle\varphi|\mathrm{A}|\psi\rangle = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle = c</math>

Al aplicar un operador sobre un Bra

<math>\langle\varphi| \mathrm{A} = \langle\varphi'|</math>

<math>\Rightarrow</math> es lo mismo

<math>\langle\varphi|(\mathrm{A}|\psi\rangle) = (\langle\varphi|\mathrm{A})|\psi\rangle</math>

Paso de Kets a Bras

<math>\mathrm{A}|\psi\rangle \longrightarrow \langle\psi|\mathrm{A}^+</math>

<math>\mathrm{A}^+</math> es el operador adjunto de <math>\mathrm{A}</math>.

=== Propiedades ===

# <math>(\mathrm{A}^+)^+ = \mathrm{A}</math>
# <math>(\mathrm{A}+\mathrm{B})^+ = \mathrm{A}^+ + \mathrm{B}^+ </math>
# <math>(\lambda\mathrm{A})^+ = \lambda^*\mathrm{A}^+</math>
# <math>(\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+</math>

Demostración de 4.

<math>|\varphi\rangle = \mathrm{A} \mathrm{B} |\psi\rangle \longrightarrow \langle\varphi| = (\mathrm{A} \mathrm{B})^+ \langle\psi| </math>

<math>\Rightarrow |\varphi\rangle = \mathrm{A} |\psi'\rangle</math> &nbsp; <math>|\psi'\rangle = \mathrm{B} |\psi\rangle</math> (*)

<math>\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi'| \mathrm{A}^+ </math>

y además de (*) <math>\langle\psi'| = \langle\psi| \mathrm{B}^+ </math>

<math>\Rightarrow \langle\varphi| = \langle\psi| \mathrm{B}^+ \mathrm{A}^+ </math>

por lo tanto <math> (\mathrm{A}\mathrm{B})^+ = \mathrm{B}^+\mathrm{A}^+</math>

=== Operador hermítico ===

<math>\mathrm{A}</math> es hermítico si <math>\mathrm{A}^+ = \mathrm{A}</math>

=== Autovalores y autovectores ===

Si tenemos op <math>\mathrm{A}</math> tal que

<math>\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle</math>&nbsp; <math> \lambda_n \in \mathbb{C}</math>

<math>\Rightarrow</math> se dice que <math>|\psi_n\rangle</math> es una autofunción de <math>\mathrm{A}</math> con autovalor <math>\lambda_n</math>

==== Nota ====

Si <math>\mathrm{A}</math> es un operador hermítico 
<math>\Rightarrow</math> sus autovalores son reales.

Demostración:

<math>\mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n |\psi_n\rangle</math>

<math>\langle\psi_n| \mathrm{A}^+  = \lambda_n^* \langle\psi_n|</math>

<math>\Rightarrow</math>

<math>\langle\psi_n| \mathrm{A} |\psi_n\rangle = \lambda_n \langle\psi_n|\psi_n\rangle</math>

<math>\langle\psi_n| \mathrm{A}^+ |\psi_n\rangle = \lambda_n^* \langle\psi_n|\psi_n\rangle</math>

como <math>\mathrm{A}^+ = \mathrm{A} \Rightarrow \lambda_n = \lambda_n^* \Rightarrow \lambda_n \in \Re </math>

== Observables ==

Un observable es una propiedad de un sistema que en un principio se puede medir. En mecánica cuántica se le asocia un operador hermítico.

i.e. <math>\hat{\mathrm{X}}</math>, <math>\hat{\mathrm{P}}</math>, <math>\hat{\mathrm{H}}</math>

<math>\hat{\mathrm{H}} |\psi_n\rangle = \mathrm{E}_n |\psi_n\rangle</math>

donde <math>|\psi_n\rangle</math> es una autofunción de <math>\hat{\mathrm{H}}</math>

<math>\hat{\mathrm{X}}|x\rangle = x |x\rangle</math>

=== Colapso de la función de onda ===

Cuando un sistema es medido, la función de onda del sistema colapsa a una de las autofunciones del obervable, dando como resultado de la medición el autovalor correspondiente.

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